[로봇공학기초 / 2DOF] #5. Singularity (특이점)

로봇공학기초

[로봇공학기초 / 2DOF] #5. Singularity (특이점)

jhpark0518 2025. 4. 4. 10:00

⚠️ 특이점(Singularity)이란?

지난 글에서는 자코비안 행렬(Jacobian Matrix)을 이용해
로봇팔의 말단 속도를 계산하는 방법을 알아보았습니다.

이번에는 로봇공학에서 매우 중요한 개념인 특이점(Singularity)에 대해 정리해보겠습니다.

특이점은 종종 로봇이 잘 움직이지 못하는 지점라고 설명되지만, 더 정확하게 말하면 다음과 같습니다:

“우리가 원하는 말단 속도를 만들기 위해 관절 속도를 계산할 수 없는 지점”

이는 속도 역기구학(Inverse Velocity Kinematics)이 실패하는 지점입니다.수학적으로는 자코비안 행렬 $ J $의 행렬식(det)이 0이 되는 지점에서 발생하며,이 경우 역행렬 $ J^{-1} $이 존재하지 않게 됩니다.

✋ 특이점은 어떤 상황일까?

우리는 로봇을 제어할 때 보통 말단(End-effector)의 움직임을 먼저 정합니다.
즉, "끝점이 직선으로 이렇게 이동했으면 좋겠다"는 식으로 카테시안 공간 기준의 속도 $ \dot{x} $ 를 정합니다.

하지만 실제로 로봇을 움직이게 만들기 위해선 그 움직임을 만들어줄 관절 속도 $ \dot{\theta} $ 가 필요하죠.
이때 사용하는 것이 자코비안:

$$
\dot{x} = J(\theta)\dot{\theta}
$$

이걸 역으로 계산해서 관절을 제어해야 합니다:

$$
\dot{\theta} = J^{-1}(\theta)\dot{x}
$$

그런데 문제는, 특이점에서는 $ J^{-1} $ 존재하지 않습니다.
즉, 아무리 말단을 움직이고 싶어도, 그걸 실현할 수 있는 관절 속도가 존재하지 않거나 무한대가 되는 지점이 바로 특이점입니다.

📌 쉽게 말해 이런 상황입니다:

우리는 "말단을 이렇게 움직여줘!"라고 명령했는데,
로봇은 "그렇게 움직이려면 관절이 무한히 빨라야 합니다…" 라는 불가능한 답을 내놓는 상태

이런 이유로 특이점에서는 속도 제어가 불가능하거나,
움직임이 극도로 민감하고 불안정해지며,
실제로 로봇이 멈추거나 튀는 현상이 발생할 수 있습니다.

📐 2자유도 로봇팔의 자코비안 행렬과 특이점 조건 유도

두 관절을 가진 2자유도 평면 로봇팔의 자코비안 행렬은 다음과 같습니다:

$$ J(\theta_1, \theta_2) = \begin{bmatrix} -L_1 \sin{\theta_1} - L_2 \sin{(\theta_1 + \theta_2)} & -L_2 \sin{(\theta_1 + \theta_2)} \\ L_1 \cos{\theta_1} + L_2 \cos{(\theta_1 + \theta_2)} & L_2 \cos{(\theta_1 + \theta_2)} \end{bmatrix} $$

이 행렬의 행렬식은 다음과 같이 단순화됩니다:

$$ \det(J) = L_1 L_2 \sin{\theta_2} $$

따라서 행렬식이 0인 다음 두 경우에 특이점이 발생합니다:

$ \theta_2 = 0 $: 로봇팔이 완전히 펼쳐진 경우
$ \theta_2 = \pi $: 로봇팔이 완전히 접힌 경우

💻 특이점 시각화 Python 코드

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 한글 폰트 설정
plt.rcParams['font.family'] = 'NanumGothic'
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

# 자코비안 행렬식
def det_jacobian(theta2, l1=1.0, l2=0.5):
    return l1 * l2 * np.sin(theta2)

# Forward kinematics
def forward_kinematics(theta1, theta2, l1, l2):
    joint = np.array([l1 * np.cos(theta1), l1 * np.sin(theta1)])
    end_effector = joint + np.array([l2 * np.cos(theta1 + theta2), l2 * np.sin(theta1 + theta2)])
    return np.array([0, 0]), joint, end_effector

# 현재 설정
l1, l2 = 1.0, 0.5
theta1_cur = np.deg2rad(121.5)
theta2_cur = np.deg2rad(41.4)

# 현재 로봇팔 위치 계산
base, joint, end_effector = forward_kinematics(theta1_cur, theta2_cur, l1, l2)

# 특이점 조건: sin(theta2) = 0 → theta2 = 0, pi
theta1_range = np.linspace(-np.pi, np.pi, 400)
singularity_points = []

for theta1 in theta1_range:
    for theta2 in [0, np.pi]:  # 특이점이 일어나는 두 지점
        _, _, ee = forward_kinematics(theta1, theta2, l1, l2)
        singularity_points.append(ee)

singularity_points = np.array(singularity_points)

# 시각화
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6), dpi=150)

# 특이점 위치 그리기
ax.scatter(singularity_points[:, 0], singularity_points[:, 1], color='red', s=15, label='특이점 위치')

# 현재 로봇팔 자세
ax.plot([base[0], joint[0], end_effector[0]],
        [base[1], joint[1], end_effector[1]],
        'ko-', linewidth=2, markersize=8, label='현재 로봇팔')

# 마커 및 텍스트
ax.plot(base[0], base[1], 'ks', markersize=10)
ax.text(end_effector[0]+0.05, end_effector[1]+0.05, "End-Effector", fontsize=9)

# 스타일
ax.set_title("특이점 위치 (det(J) = 0) 및 현재 로봇팔 자세")
ax.set_xlabel("X (m)")
ax.set_ylabel("Y (m)")
ax.set_xlim(-2, 2)   # ✅ X축 범위 고정
ax.set_ylim(-2, 2)   # ✅ Y축 범위 고정
ax.legend()
ax.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.savefig("singularity_points_with_arm.png", dpi=300)
plt.show()

🔧 실행 환경

Python 3.8 이상
numpy
matplotlib
Jupyter Notebook (추천)

📘 다음 편 예고

2자유도 평면 로봇팔의 자코비안 행렬을 이용해, 특이점(Singularity)이 발생하는 수학적 조건과 그 의미를 직관적으로 해석해보았습니다. 다음 글에서는 Trajectory Planning(궤적 생성)에 대해 알아보겠습니다. 로봇이 시작점에서 목표점까지 움직이는 경로를 어떻게 설계하는지, 다양한 궤적 생성 기법들을 소개할 예정입니다.